Iº Unidad :Las funciones raíz cuadrada y cuadrática

Comencemos el estudio de las raíces haciéndonos la siguiente pregunta. Si el área de un cuadrado es 15 cm2, ¿cuál es su lado?

Para responder esto debemos encontrar un número cuyo cuadrado sea 15. Este número se denomina raíz cuadrada de 15 y es aproximadamente 3,8729.

Si generalizamos lo anterior podemos afirmar que: raíz cuadrada de a es igual a be, entonces be al cuadrado es igual a a

Si a es un número positivo entonces b es positivo; por lo tanto raíz de nueve es igual a tres y no ±3 como erróneamente se cree. Por otro lado la igualdad: raíz de equis cuadrado es igual a equisse cumple solo si x>0, ya que si tenemos raíz de menos tres al cuadrado esto no es igual a –3 ya que sería contradictorio con lo anterior; por lo tanto, la propiedad es: raíz de equis cuadrado es igual al valor absoluto de equis ,para cualquier valor real de x.

Si a es un número negativo, entonces raía de a  no es un número real.

Si la raíz es cúbica, tenemos que: raíz cúbica de a es igual a be, entonces be al cubo es igual a a

En este caso, si a es negativo b resulta ser negativo y si a es positivo, b también; por lo tanto, la raíz cúbica está definida para todo número real.

En general, las raíces se pueden definir mediante una potencia de exponente fraccionario:

Definición: 
 

raíz enesima de a eleveado a eme es igual a a elevado a eme partido por ene

Donde n se denomina el índice de la raíz, y como vimos anteriormente, cuando no aparece se entiende que su valor es dos (raíz cuadrada).

Esta definición está sujeta a las restricciones que vimos en el párrafo anterior, es decir, las raíces de índice par están definidas para números no negativos y las de índice impar están definidas para todo número real.

Debido a que las raíces pueden convertirse a potencias de exponente fraccionario, cumplen con todas las propiedades de potencias que estudiamos en el módulo anterior; de estas se pueden deducir las siguientes propiedades de raíces.

1. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

i. Multiplicación de raíces de igual índice 
 

multiplicación de raíces

ii. División de raíces de igual índice 
 

división de raíces

iii. Raíz de raíz 
 

Raíz de una raíz

iv. Raíz de una potencia de exponente igual al índice 
 

Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice

v. Ingreso de un factor en una raíz 
 

Ingreso de un factor dentro de una raíz: con a > 0 si n es par

 Veamos a continuación la demostración de algunas de las propiedades para que veas su analogía con las propiedades de las potencias.

Demostración de (i):

 Demostración de propiedad uno

Demostración de (v):

 Demostración de propiedad cinco

2. OPERATORIA CON RAÍCES

Adición y sustracción de raíces semejantes

Se llaman raíces semejantes cuando tienen la misma cantidad subradical; por ejemplo dos por raíz de cinco y menos siete por raíz de cinco son raíces semejantes y se pueden sumar y/o restar:

 dos por raíz de cinco menos siete por raíz de cinco es igual a menos cinco por raíz de cinco

En el caso de querer sumar o restar raíces no semejantes, se debe descomponer las cantidades subradicales para convertirlas a raíces semejantes.

Ejemplo: Reducir la expresión  Ejemplo de resta y suma de raíces

Solución: Se descomponen las cantidades subradicales para formar raíces semejantes.

 Ejemplo de resta y suma de raíces, desarrollo

Multiplicación y división de raíces de igual índice

En este caso aplicamos las propiedades 1 y 2 de las raíces.

Ejemplo:

 Ejemplo de multiplicación de raíces?

Solución:  Ejemplo de multiplicación de raíces, desarrollo

Multiplicación y división de raíces de distinto índice

En este caso es conveniente utilizar la propiedad de amplificación para igualar índices.

Ejemplo: ¿Cuál es el valor deEjemplo de división de raíces de distinto índice=?

Solución: El m.c.m. de los índices es seis, entonces amplificamos para igualar los índices a seis:

 

 Otra forma de resolver esta expresión es aplicar sólo las propiedades de potencias.

 

3. RACIONALIZACIÓN

La racionalización consiste en eliminar las raíces que se encuentran en el denominador de una fracción.

Analizaremos a continuación los casos más importantes:

Caso 1: Una raíz cuadrada en el denominador, sin adiciones ni sustracciones.

Ejemplo: Racionalizar: Ejemplo uno de racionalización: cuatro partido por raíz de dos

 

Caso 2: Una raíz cuadrada en el denominador, con adiciones o sustracciones.

Ejemplo: Racionalizar la fracción Una raíz cuadrada en el denominador, con una sustracción.

Solución: Amplificamos la fracción por el binomio conjugado del denominador para formar una suma por diferencia:

 

 

Una de las aplicaciones de la racionalización es que nos permite ordenar fracciones que tengan raíces en el denominador.

Ejemplo:  Dados los números Ejemplos de fracciones con raíces: equis, y, zeta¿Cuál es el orden de menor a mayor?

Solución: Racionalizamos cada una de las fracciones y comparamos los resultados.

    

ECUACIÓN CUADRÁTICA

 

 

Una ecuación cuadrática es de la forma: ax2+bx+c=0, donde a, b y c son constantes reales y a ¹ 0. Para resolverla existen diferentes métodos, los cuales revisaremos a través de algunos ejemplos.

1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS

i.- Por factorización:

Resolver la ecuación: x2 - 12x - 28 = 0

Factorizamos el trinomio recordando el producto de binomios con un término común, es decir, buscando dos números cuyo producto sea –28 y cuya suma sea –12; estos números son -14 y 2, y la factorización es:

(x - 14)(x + 2) = 0

Por lo tanto, las soluciones son X1 = 14 y X2 = -2

ii.- Utilizando la fórmula de resolución: 

Para resolver la ecuación cuadrática: ax2+bx+c=0, podemos utilizar la fórmula:

Fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo:

Resolver la ecuación:

x2 – 10x +24 = 0

Solución: Primero identificamos los coeficientes a, b y c y luego los reemplazamos en la fórmula:

 a = 1; b = -10 y c = 24 

Desarrollo de ecuación anterior

Resolviendo esta expresión, se obtiene  X1 = 6 ó X2 = 4

iii.- Por completación de cuadrados

Ejemplo:

Resolver la ecuación: x2 – 6x + 8 = 0

Solución: Con los términos x2 y –6x podemos formar el cuadrado de binomio (x – 3) 2 , pero nos faltaría el término igual a 9, por lo tanto, despejaremos los términos que contienen  x  y sumaremos 9 a ambos lados de la igualdad para formar el cuadrado de binomio:

x2 – 6x + 8 = 0   /-8
x2 – 6x = -8       /+9
x2 - 6x + 9 = -8 + 9
(x – 3) 2 = 1

De la última igualdad se deduce que x –3 = 1 ó x – 3 = -1, por lo tanto  X1 = 4 ó X2 = 2

2. PLANTEO DE PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRÁTICAS

En el primer módulo vimos algunas resoluciones de problemas utilizando ecuaciones de primer grado. Ahora veremos algunos problemas cuyos planteamientos conducen a ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo 1:

Determinar un número entero tal que el cuadrado del antecesor de su doble sea equivalente al cuadrado del número aumentado en 5.

Solución: 

Sea x el número entero, entonces el enunciado se traduce en (2x-1) 2 = x2 + 5

Ordenando y reduciendo, se obtiene la ecuación cuadrática:

3x2 – 4x – 4 = 0

Ahora utilizamos la fórmula, con a = 3 , b = -4 y c = -4 
 

 

Luego, las soluciones de la ecuación son X1 =       y X2 = 2. Pero el número que estamos buscando debe ser entero, por lo tanto, la solución es x = 2.

Ejemplo 2:

Un triángulo tiene un área de 24 cm2 y la altura mide 2 cm más que la base correspondiente. ¿Cuánto mide la altura?

Solución: Sea x la base del triángulo y x + 2 su altura, entonces su área es:

Ecuación que representa al área A =24 cm2

A partir de esta igualdad formamos la ecuación de segundo grado.

 Ahora resolvemos esta ecuación por factorización.

(x + 8) (x - 6)=0

Finalmente, como x es la base del triángulo, su valor debe ser positivo, es decir, la solución que nos sirve es x2 = 6 y comó la pregunta del problema es la altura del triángulo, entonces la respuesta es

x + 2= 8cm 

 

3. NATURALEZA DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Hemos visto que las soluciones de la ecuación cuadrática: ax2+bx+c=0 , se pueden obtener a través de la fórmula: 
 

Fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas.

La cantidad subradical: D = b2–4ac se llama discriminante, y nos permite determinar el tipo de soluciones que tiene la ecuación cuadrática:

- Si el discriminante resulta ser negativo, estaríamos calculando la raíz cuadrada de un número negativo, por lo tanto, las soluciones no serían números reales;

- Si el discriminante es cero, las soluciones serían iguales.

-  Si D es positivo, las soluciones serían dos números reales y distintos. 

 

Tabla uno

Ejemplo:

¿Cuánto debe valer p para que las soluciones de la ecuación:
x2 – (p+3)x + 9 = 0 sean reales e iguales?

Solución: Como las soluciones deben ser reales e iguales el discriminante debe ser igual a cero, entonces identificamos los coeficientes a, b y c y los reemplazamos en la fórmula de D:

a = 1 ; b = -(p + 3) ; c = 9
(-(p + 3)) 2 – 4 .• 1 .• 9 = 0
   p2 + 6p – 27 = 0

(p+9) (p-3)=0

P1 = -9 ó P2 = 3

4. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Sean x1 y x2 las soluciones de la ecuación: ax2+bx+c=0. SiEcuaciones equis uno y equis dos., entonces:

- Suma de las raíces:  Suma de ecuaciones equis uno y equis dos.

- Producto de las raíces:
 

Es decir, a través de los coeficientes de la ecuación podemos obtener la suma y el producto de las raíces sin tener que resolverla.


Soluciones a suma y productos de equis uno y equis dos.