IIIº Unidad :Más sobre triángulos rectángulos
Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo
Por el criterio (A,A) los triángulos son semejantes, por lo tanto: Es decir, si se conoce uno de los ángulos agudos, la razón entre dos lados del triángulo rectángulo es constante. Debido a que la razón entre los lados es constante y depende exclusivamente del ángulo a, se establecieron todas las razones posibles entre dos de los lados del triángulo rectángulo. Estas razones se denominan razones trigonométricas en el triángulo rectángulo y se definen de la siguiente forma: Sea el triángulo ABC, rectángulo en C de la figura:
Se definen las siguientes razones trigonométricas para el ángulo agudo a:
1. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Observa que las razones trigonométricas cumplen con las siguientes propiedades: Las propiedades 6 y 7 se llaman identidades pitagóricas y las demostraremos a continuación: Demostración de 6: En el DABC anterior, teníamos que: Demostración de 7: Fíjate que en ambas demostraciones planteamos que a2 + b2 = c2, motivo por el cual ambas identidades se denominan identidades pitagóricas. 2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30°, 45° Y 60° Si consideramos un triángulo rectángulo isósceles de cateto “a”, entonces la hipotenusa mide Si en este triángulo calculamos las razones trigonométricas, obtenemos: Para calcular las razones trigonométricas para los ángulos de 30° y 60°, ocuparemos el triángulo equilátero de la figura:
(ver diagonal de un cuadrado)
En el triángulo rectángulo, se cumple que:
Resumiendo, las razones trigonométricas sen, cos y tan para 30°, 45° y 60° son:
3. APLICACIONES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL CÁLCULO DE DISTANCIAS
Ejemplo:
Un poste de altura h está sujeto por una cuerda de longitud L con un ángulo de inclinación a ¿Cuál es la altura del poste?
En el triángulo rectángulo de la figura se conoce la hipotenusa y se requiere calcular el cateto opuesto, por lo tanto ocupamos la razón trigonométrica sen a: Esta expresión nos permite calcular la altura del poste, una vez conocidos a y L. Ejemplo: Una escalera de 6 m de largo se apoya en un muro vertical con un ángulo de inclinación a. ¿A qué distancia se ubica la base de la escalera con respecto al muro?
En el DABC rectángulo en C de la figura: Se pueden establecer las siguientes semejanzas: 1) DAHC : DACB (A,A) De esta semejanza, se obtienen las siguientes proporciones: 2) DBHC : DBCA (A,A)
De esta semejanza, se tiene: 3) DAHC : DCHB (A,A) De aquí se obtienen las proporciones: De 1): De 2): De 3): Estas tres relaciones obtenidas corresponden al Teorema de Euclides. 1.1. TEOREMA DE EUCLIDES REFERENTE AL CATETO El cuadrado de un cateto equivale al producto del cateto por la proyección de él sobre la hipotenusa. a2 = pc 
Segmentos proporcionales en el triángulo rectángulo
CAH 
CAB (ángulo común)
AHC ACB (ángulos rectos)
CBH ABC (ángulo común)
BHC BCA (ángulos rectos)
CAH BCH (porque BCH = 90º - ACH y CAH = 90º - ACH)
BHC BCA (ángulos rectos)
b2 = qc
1.2. TEOREMA DE EUCLIDES REFERENTE A LA ALTURA
El cuadrado de la altura equivale al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
h2 = pq
Además de los teoremas anteriores, se puede obtener una relación para determinar la altura a través de los lados del triángulo rectángulo:
De 2) tenemos que: 
, por lo tanto 
Por lo tanto, la altura equivale al producto de los catetos dividido por la hipotenusa.
Otro teorema importante en el triángulo rectángulo es el siguiente:
1.3. TEOREMA DE PITÁGORAS
El cuadrado de la hipotenusa equivale a la suma de los cuadrados de los catetos.
c2 = a2 + b2
Podemos demostrar este teorema utilizando los teoremas anteriores, como veremos a continuación:
Por Euclides tenemos que: a2 = pc y b2 = qc, entonces
a2 + b2 = pc+qc = c(p+q) ; pero p+q=c, si reemplazamos obtenemos:
a2+b2= c(p+q)=c . c = c2
1.4. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
Diagonal de un cuadrado
La diagonal de un cuadrado equivale al producto del lado por 
Demostración:
Utilizando el teorema de Pitágoras:
d2 = a2 + a2
d2 = 2a2 / 
Altura de un triángulo equilátero La altura de un triángulo equilátero equivale a la mitad del lado por Demostración: Según la figura, por tratarse de un triángulo equilátero la altura cae en el punto medio del lado opuesto. Ocupando el teorema de Pitágoras: Ejemplo: En la figura, el polígono es un hexágono regular cuyo lado mide 12 cm. ¿Cuánto mide la superficie sombreada? Cada uno de los triángulos sombreados corresponde a un triángulo equilátero de lado 12 cm. La altura, según la fórmula anterior es: El área de cada triángulo sombreado es: Por lo tanto el área sombreada es: 
cm2.