1 unidad :Ecuacion de la recta y otras funciones , modelo de situaciones diarias
Funciones
1. Funciones
En la vida diaria encontramos situaciones en las que aparecen valores que varían dependiendo de una regla fija. Una función se define como un par de variables, una dependiente de la otra, que cumplen una regla establecida.
Ejemplo de aplicación de las funciones:
En una cuenta de electricidad figura el siguiente detalle:
- Arriendo de equipos: $ 581
- Cargo fijo: $ 492
- Energía base 250 KWH $ 15.000
- Total $ 16.073
El “arriendo de equipos” y el “cargo fijo” suman $1.073 y la “Energía base” se cobra de acuerdo con el consumo. Como según este ejemplo se gastaron 250 KWH (kilowatts-hora), cuyo valor es $15.000, se obtiene que cada KWH vale: 15.000 : 250 = $60.
De lo anterior se deduce que, para calcular el valor de la cuenta, se debe sumar un cargo fijo de $1.073 más $60 por cada KWH de consumo.
En términos generales, la cuenta C(k), donde k es el número de KWH de consumo, está dada por la expresión:
C(k) = 60• k + 1.073
Esta expresión depende del resultado de la cantidad “k” (de KWH de consumo), por lo que k es una variable independiente y C(k) es la variable dependiente.
En la notación C(3) se indica el valor de la cuenta para 3 kilowatts-hora:
C(3) = 60• (3) + 1.073 = 1.253
Es decir, para un consumo de 3 KWH se tiene una cuenta de $1.253.
Esta función la podemos graficar en un plano cartesiano, donde en el eje X (eje de las abscisas) ponemos la variable independiente y en el eje Y (eje de las ordenadas) ponemos la variable dependiente.
Para graficar la función del ejemplo, completemos primero una tabla de valores:
Si graficamos, obtenemos en una línea recta los valores de la tabla y otros interpolados:
Por lo tanto: y = 60x + 1.073
Los puntos del ejemplo no cubren toda la recta, ya que la variable k toma solamente valores enteros. Si k pudiese tomar todos los valores reales, el gráfico sería una recta continua.
Las funciones de primer grado se presentan en el Sistema de Ejes Coordenados (x, y) en un gráfico que es una línea recta.
Las funciones de primer grado pueden ser lineales de proporcionalidad directa, cuyo forma general es f(x) = m • x , representando rectas en el plano cartesiano que pasan por el origen del sistema (0,0) o bien funciones afines, que son del tipo f(x) = m • x + n , representando rectas que no pasan por dicho punto (0,0).
Una función puede ser definida por su ecuación, por su gráfica, o bien planteada a través de una situación problemática.
Ejemplo de función dada su ecuación:
Sea la función: f(x) = 3x3 – 4 x2 – 2x + 1, entonces f(-2) + f(2)=
f(-2) = 3• (-2)3 – 4• (-2)2 – 2• (-2) + 1 = - 24 – 16 + 4 + 1= -35
f(2) = 3• 23 – 4• 22 – 2• 2 + 1 = 24 – 16 – 4 + 1= 5
Por lo tanto: f(-2) + f(2) = -35 + 5 = -30
Ejemplo de función dado su gráfico:
Dada la gráfica de la función
Hallar f(-2) + f(2) + f(3) =
Según la gráfica, f(-2) = 2 ; f(2) = -1 y f(3) = -1
Por lo tanto:
f(-2) + f(2) + f(3) = 2 – 1 – 1 = 0
Ejemplo de función dada una situación problemática:
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua aumenta 20 cm por cada hora que transcurre.
Si inicialmente el agua que había en la piscina llegaba a una altura de 1,2 m, ¿cuál es la ecuación de la función que determina la altura (h) del agua después de t horas?
Según el planteamiento, por cada hora que transcurre, la altura crece en 0,2 m, por lo tanto, la altura del agua después de t horas es 0,2• t
Así, la altura h después de t horas será: h(t) = 1,2 + 0,2 • t
2. Fórmulas de geometría analítica
A continuación veremos algunas fórmulas básicas de la geometría que están relacionadas con trazos y rectas en el plano cartesiano
Sean los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2), entonces:
1. Distancia entre los puntos: 
2. Punto medio del segmento 
= 
3. Pendiente del segmento = 
4. Ecuación general de la recta: ax + by + c = 0 5.
5. Ecuación principal de la recta: y = mx + n 6.
6. Ecuación punto-pendiente: y - y1 = m(x - x1) 7.
7. Ecuación de la recta que contiene dos puntos: 
2.1. Función lineal y función lineal afín
Una función lineal es de la forma y = m• x. Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen. La pendiente de la recta se denomina m y su signo está relacionado con el ángulo que forma con el eje X (medido en sentido contrario a los punteros del reloj).
Interpretación de la pendiente (m):
Si la pendiente es positiva, la recta forma un ángulo agudo con el eje X.
Ejemplo: La función identidad f(x) = x tiene pendiente positiva y su ángulo α = 45º
Si la pendiente es negativa, la recta forma un ángulo obtuso con el eje X.
Ejemplo: La función f(x) = -2x tiene pendiente -2 y el ángulo que proyecta es mayor que 90º y menor que 180º.
Una función lineal afín es de la forma: y = mx + n con 
. Su gráfica es una línea recta que no pasa por el origen.
El valor de m es el valor de la pendiente de la recta respecto al eje horizontal (eje X) y n se llama coeficiente de posición.
Interpretación geométrica del coeficiente de posición (n)
El coeficiente de posición se denomina n y su valor indica la intersección de la recta con el eje y.
En toda ecuación de recta y = mx + n, la gráfica intercepta al eje Y en el punto (0,n).
Veamos a continuación algunos ejemplos de interpretación de m y n:
2.2. Rectas paralelas y perpendiculares
Podemos determinar si dos rectas son paralelas o perpendiculares analizando sus pendientes a través de las siguientes propiedades:
Dos rectas son paralelas si y solo si tienen igual pendiente.
Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es -1.
Ejemplo: Dadas las rectas: L1: 5x – 3y = 15 y L2 : 3x + 5y = 12, determina si son paralelas o perpendiculares.
Primero se debe transformar cada recta a su ecuación principal despejando la variable y:
La pendiente m corresponde al coeficiente de la variable x, por lo tanto:
Si multiplicamos ambas pendientes obtenemos:
Entonces, las rectas son perpendiculares. Observa que m1 equivale al opuesto del inverso multiplicativo de m2.
Ejemplos relativos a ecuaciones de rectas:
1. ¿Cuál es el gráfico de la función 3x – 2y + 6 = 0?
Primero llevamos la ecuación a la ecuación principal:
De esta última ecuación concluimos que m = 3/2 y n = 3, por lo tanto su gráfica aproximadamente es:
2. ¿Cuánto vale p si el punto (2p – 1, p + 1) está sobre la recta 3x – 2y + 1 = 0?
Reemplazamos las coordenadas (x,y) del punto en las respectivas variables de la ecuación de la recta: x = 2p – 1 ; y = p + 1
3(2p – 1) – 2(p + 1) + 1 = 0
4p – 4 = 0
p = 1
3. ¿En qué punto la recta de ecuación: 3x – 2y + 9 = 0 corta al eje X?
El punto donde intercepte al eje X debe tener un valor de y = 0.
Reemplazando en la ecuación de la recta, obtenemos:
3x – 2• 0 + 9 = 0 
Por lo tanto, intercepta al eje X en el punto (-3,0).