IIº Unidad :Inecuaciones lineales
Intervalos e inecuaciones lineales
1. Intervalos e inecuaciones lineales Existen intervalos abiertos, en los que no se incluyen los extremos; cerrados en los que se La simbología que se utiliza en los casos abiertos (que no incluyen al extremo) son el signo < o >; y para los casos cerrados (que incluyen al extremo) son el signo Por otra parte, los intervalos se pueden representar en forma de conjunto o con corchetes: Observa el esquema: 1.1 Propiedades de las desigualdades 1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados: ejemplo 2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo: a > b / • c (c > 0) Ejemplo Ejemplo 15 – 3• x A continuación veremos cómo se aplican las propiedades anteriores en la resolución de inecuaciones lineales de primer grado con una incógnita. Ejemplo: Resolver la inecuación: x – 2 < 3x – 6 Método 1: -2x < -4 Método 2: 2.1 sistemas de inecuaciones La resolución de un sistema de inecuaciones implica que se debe encontrar una solución que satisfaga ambas inecuaciones. Para resolver esto, se debe resolver cada inecuación por separado e intersectar los intervalos resultantes; es decir, se debe hallar el conjunto de números que pertenezca a ambos intervalos. Ejemplo: Resolver el sistema de inecuaciones: En la primera inecuación: En la segunda inecuación: x – 2 > 3 x – 3 < 6 Entonces, los números reales que cumplen ambas condiciones corresponden a todos los números comprendidos entre 5 y 9. Las inecuaciones lineales son inecuaciones con 2 variables que representan un subconjunto del plano determinado por la gráfica asociada a cada inecuación cuando se iguala a 0. (si la inecuación es < o > , la recta se dibuja punteada, y si es Para resolver sistemas de inecuaciones lineales se debe graficar cada inecuación por separado e intersectar los planos de los puntos que satisfacen cada inecuación; es decir, se debe hallar el conjunto de números que pertenezca a ambos intervalos: Ejemplo 1) Resolver el siguiente sistema de inecuaciones: Resolver un sistema de inecuaciones con 2 variables de primer grado implica que se graficará cada una de ellas como ecuación, las que analizando la pertinencia determinarán los semiplanos correspondientes. Por ejemplo: el par ordenado (0,0) cumple con las 4 ecuaciones: Se grafican las ecuaciones determinando sus intersecciones; Luego se determina cuál de los semiplanos es la solución. En este caso, tacharemos los semiplanos que “No son solución”. Así el subconjunto del plano que es la solución quedará en este caso sin sombrear. La solución del sistema son todos los puntos pertenecientes al interior del polígono ABCDE, siendo los puntos de intersección los llamados puntos de inflexión; éstos determinarán los valores máximos y mínimos de la solución del sistema
Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica por un trazo o una semirrecta.
incluyen los extremos, y por último aquellos en que se combinan ambos.
Para representarlos se utiliza una circunferencia vacía en el extremo, si este no se incluye, o rellena si se incluye.
(mayor o igual, o menor o igual).
Ejemplo:
Todos los reales comprendidos entre a y b, sin incluir a, ni b.
Todos los reales mayores que a, sin incluir a.
Todos los reales entre m y n, incluyendo a m y no incluyendo a n.
a < b / ± c
a ± c < b ± c
2 + x > 16 / – 2
x > 14
a < b / • c (c > 0)
a • c < b • c
a • c > b • c
3 
5 • x / :5
3/5 x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5
3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:
a < b / • c (c < 0)
a • c > b • c
a > b / • c (c < 0)
a • c < b • c
39 / -15
- 3• x 39 – 15 /: -3
x 24: (-3)
x - 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que -8.
2. Inecuaciones de primer grado
Las inecuaciones de primer grado con una incógnita se resuelven aplicando inversos aditivos (opuestos) o inversos multiplicativos (recíprocos) para despejar la incógnita. Conviene dejar positivo el coeficiente de la incógnita.
Primero sumemos –3x a ambos lados
x – 3x – 2 < – 6
sumemos 2 en ambos lados
x – 3x < 2 – 6
multipliquemos por -1/2 a ambos lados. La desigualdad cambia en virtud de la propiedad 3
x > 2 Observa que el signo cambió pues se multiplicó por un número negativo.
x – 2 < 3x – 6
Conviene dejar la incógnita positiva, por tanto restaremos x a ambos lados
-2 < 3x – x – 6
Sumamos 6 en ambos lados
-2 < 2x – 6
4 < 2x
Dividimos por 2 (positivo, por lo que no cambia el signo)
2 < x
Mediante ambos métodos, la respuesta en forma de intervalo es: 
; es decir, todos los reales mayores que 2 satisfacen la inecuación.
x > 5 x < 9
Por lo tanto, las soluciones del sistema son: x > 5 y x < 9.
Gráficamente tenemos entonces la siguiente situación:
Si traducimos lo anterior a intervalos, tenemos el intervalo ]5, 9[
2.2 Sistemas de inecuaciones lineales, la recta se dibuja continua).
