2 UNIDAD: Las fracciones en lenguaje algebraico

Sistemas de ecuaciones

1. Sistemas de ecuaciones lineales 

En distintos problemas de matemáticas nos vemos enfrentados a  cálculos con ecuaciones que tienen dos incógnitas que dependen una de la otra. Para poder resolverlas,  debemos considerar 2 ecuaciones que relacionen estas incógnitas. (Siempre se necesitará el mismo número de ecuaciones que de incógnitas por resolver).
Dos ecuaciones que relacionen dos incógnitas conformaan un sistema de ecuaciones. Existen distintos métodos de resolución para calcularlas, ya sean gráficos, algebraicos o mecánicos.

1.1 Interpretación gráfica

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la siguiente la forma:

sistema de ecuación uno

Donde a, b, c, d, e, f suponen valores positivos, mientras que los valores de x e y son las incógnitas. Cada una de las ecuaciones corresponde a la ecuación de una recta.

Determinar el valor de las incógnitas y, por tanto, la solución del sistema es hallar un punto común que satisfaga ambas ecuaciones, esto es, encontrar el punto donde se intersectan ambas rectas.
Gráficamente, la situación es la siguiente:

Representación gráfica

 

Representación gráfica

En el ejemplo anterior, la gráfica de las ecuaciones y = –1/4 x + 4, y = ¾ x tiene como solución:
x = 4, y = 3

Existen otros métodos, llamados algebraicos para resolver un sistema de ecuaciones. Estos son: reducción, igualación, sustitución.
 
1.2 Métodos algebraicos 

1. Método de reducción
Consiste en igualar los coeficientes pero con diferente signo de una de las incógnitas en ambas ecuaciones. El objetivo es que al reducirlas miembro a miembro, se elimine esa incógnita, quedando una sola ecuación con una incógnita, la cual es posible resolver.

Ejemplo:

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

sistema de ecuación dos

Multiplicando la segunda ecuación por 2, obtenemos:

sistema de ecuación dos desarrollo

Reduciendo ambas ecuaciones se eliminará una de las variables, y se obtiene:

7x = 21, por lo tanto x = 3

Reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales podemos obtener el valor de la segunda incógnita. Por ejemplo en la segunda:

4• 3 + 2y = 16 

Despejando y obtenemos que y = 2

Por lo tanto, la solución del sistema es el punto (3,2).

2. Método de igualación
Consiste en despejar una misma incógnita en ambas ecuaciones, obteniendo dos expresiones diferentes, las cuales se igualan, resultando una ecuación con una incógnita que se puede resolver.
Para calcular la segunda incógnita se puede reemplazar el valor la primera en cualquiera de las ecuaciones iniciales.

Ejemplo:
Resuelve el siguiente  problema: Si se compran 2  lápices y 5 carpetas, se deberá pagar $ 4.290,  y si se compran 3 lápices y 2 carpetas, se paga $ 2.310. ¿Cúanto vale cada lápiz y cada carpeta?
Para resolver este problema se debe plantear un sistema de ecuaciones:

Ecuaciones

Donde l, es el valor de cada lápiz y c, el valor de cada carpeta.
Resolviendo por igualación despejaremos la incógnita en ambas ecuaciones. Así,

Sistema de ecuaciones

Igualando las expresiones tenemos: Expresión matemática

igualando productos cruzados: Igualando productos cruzados
12.870 – 15c = 4.620 – 4c
12.870 – 4.620 = 15c – 4c
8.250 = 11 c, entonces c = 8.250 : 11 entonces c = 750 entonces cada carpeta cuesta $750
Reemplazamos en  Ecuación    
l = (2.310 – 2• 750) : 3
    
Entonces: l = 270 entonces cada lápiz cuesta $ 270

3. Método de sustitución
Consiste en despejar una de las incógnitas de una de las  ecuaciones, luego se sustituye la expresión en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita. Se calcula ésta y luego se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda incógnita.

Ejemplo:
Resuelve el siguiente  problema:    
A un cine asiste un grupo de 5 niños y 2 adultos. Pagan $ 10.000 en total. Otro grupo, compuesto de un adulto y 3 niños paga $5.600.¿Cuánto vale la entrada de un adulto? ¿Y la de  un niño?

Formamos un sistema de ecuaciones Sistema de ecuaciones

Donde n es el valor de la entrada de un niño y a es el valor de la entrada de cada adulto.

De la segunda ecuación despejaremos a entonces a = (5.600 – 3n)
Reemplazamos en la otra ecuación: 5n + 2 (5.600 – 3n) = 10.000 resolviendo esta ecuación
obtenemos que n = $1.200    
Reemplazando este valor en a =  (5.600 – 3n)            
obtenemos que  a = 2.000             

Para ejercitar con problemas cotidianos que se resuelven utilizando sistemas de ecuaciones (59 ejercicios propuestos) consulta el sitio:

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/09-02-p-SisEcuProblemas.html 

2. Análisis de las soluciones de un sistema de ecuaciones

En un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, cada ecuación corresponde a una recta, y la solución del problema es el punto de intersección.

sistema de ecuación tres

Podemos tener cualquiera de las siguientes situaciones:

2.1. Infinitas soluciones
Si las ecuaciones representan la misma recta, habrá infinitos puntos comunes, lo que se produce cuando los coeficientes de x e y de los términos libres son proporcionales:

ejemplo de infinitas soluciones

2.2. No hay solución
Si las ecuaciones representan rectas paralelas, no habrá puntos comunes. Esto se produce si el sistema de ecuaciones tiene los coeficientes de x y de y proporcionales entre sí, pero no proporcionales a los términos libres:

ejemplo de sin solución

2.3. Solución única
Si las ecuaciones presentan rectas secantes, habrá un solo punto de intersección. Esto se produce si los coeficientes de x y de y en el sistema no son proporcionales:

ejemplo de solución única

Observa que:
La proporcionalidad entre los coeficientes de x y de y equivale a que las pendientes de las rectas sean iguales. Por lo tanto, es posible que si las tres razones son iguales, entonces son la misma recta, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Y si solamente las razones de los coeficientes de x y de y son iguales, entonces las rectas son paralelas no coincidentes y el sistema no tiene soluciones.

Ejemplo:
Hallar el valor de p de modo que el sistema no tenga soluciones:

sistema de ecuación cuatro

Como no tiene soluciones, debe acontecer que:

sistema de ecuación cuatro desarrollo uno

Claramente, dos cuartos es distinto de tres, por lo tanto el valor de p lo obtenemos de la proporción: proporción.

Multiplicando cruzado, obtenemos: 4p – 4 = 2p + 4. Entonces p = 4